Category: наука

Category was added automatically. Read all entries about "наука".

Добро пожаловать в энциклопедию для абитуриента!

Вначале было слово научить, а потом - инструменты для его воплощения. Меня интересуют образовательные инструменты, помогающие наиболее эффективно освоить курс математики средней школы. Здесь, на моих облаках,  собрано  все необходимое: система развивающих заданий по разным темам, обширная база заданий для подготовки к сдаче централизованного тестирования за все годы его существования в Беларуси, технология их решения, темы, вводящие учащихся в университетский курс математики, исчерпываю- щая литература для абитуриентов, многочисленные ссылки на мои ресурсы и на сайты коллег. В блоге отслеживается все самое важное, что происходит в области тестирования в других странах. Особое внимание уделено геометрии, которая часто вызывает затруднения у школьников. Для этого используется технология Живой Математики — компьютерной программы, позволяющей изучать геометрию (и не только) наиболее продуктивно и с интересом. Я открыт для обмена идеями и опытом с учениками и учителями. 

Мне не хотелось, чтобы назойливая реклама отвлекала от чтения журнала моих посетителей — быстрая установка AdGuard Антибаннер снимает эту проблему.

РТ-1, 2020-21, В11 - возвращение к параметрам

Задача. Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена           х²+(3а-14)х+2b+9 и его значение при х, равном 2. являются простыми числами. Найдите сумму корней квадратного трехчлена и натуральных чисел а и b.

Решение. Применим формулу разложения квадратного трехчлена f(x) на линейные множители f(x) = (xx₁)(xx₂). Cогласно условия f(2) = (x₁ — 2)(x₂ — 2). Это произведение будет простым числом, если один из множителей равен 1. Тогда один из корней равен 3, пусть это x₁. По теореме Виета x₁ +  x₂ = 14 — 3а ⇒  x₂ = 11 — 3а. Простой корень x₂ = 5 получим при а = 2. Далее x₁ ·   x₂ = 2b + 9 ⇒ b = 3.

Ответ: 3 + 5 + 2 + 3 = 13. 

Если вы поступили в университет…

то, прежде всего поздравляю вас! А если к тому же интересуетесь математикой, то вы по-настоящему счастливый человек, так как сможете заглянуть за горизонт теперешних, увы, естественно ограниченных представлений о математике и мире вообще. Там вас ждёт много потрясающих открытий. В плавании за горизонт хорошо видеть маяки, которые не дают сбиться с пути.

Collapse )

ЦТ-2020: 98-98-100

Мои поздравления Лене, Лёше и Виталику Гимбицким с отличными результатами! Поздравляю также ваших родителей и всех учителей, которые учили вас математике с 1-го по 11-й классы. Желаю таких же успехов и в постижении университетской науки! 

Теорема Наполеона

В новой редакции ЖГ-пособия размещено доказательство знаменитой теоремы с помощью комплексных чисел на основании свойств на странице 5. Другие доказательства этой теоремы значительно сложнее. 

Целочисленные тетраэдры

Прямоугольный тетраэдр — интересный объект, популярный в задачах. У него сумма квадратов площадей трех граней, сходящихся в вершине прямых углов, равна квадрату площади четвертой грани: 

(S1)²+(S2)²+(S3)² = (S4)²

Это можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора на пространство. Есть и другие любопытные свойства. Но займемся аналогией.

1. Как известно, длины сторон целочисленного пифагорова треугольника находятся по формулам а=p²- q², b=2pq, c=p²+q², p и q — целые числа, a и b — катеты, c — гипотенуза, а также все подобные этим треугольники (ka, kb, kc). Тогда (p²+q²)² = (p² - q²)²+(2pq. И следует ожидать, что аналогичное соотношение имеет место для целочисленного тетраэдра. Найдите три таких тетраэдра, т.е. у которых площади всех четырех граней целые числа. Будут ли целыми числами также длины ребер, сходящихся в вершине А?

2. Длины ребер, исходящих из вершины прямого угла прямоугольного тетраэдра, равны а, b, с. Найдите радиус вписанной в тетраэдр сферы.