Category: музыка

Category was added automatically. Read all entries about "музыка".

Добро пожаловать в энциклопедию для абитуриента!

Вначале было слово научить, а потом - инструменты для его воплощения. Меня интересуют образовательные инструменты, помогающие наиболее эффективно освоить курс математики средней школы. Здесь, на моих облаках,  собрано  все необходимое: система развивающих заданий по разным темам, обширная база заданий для подготовки к сдаче централизованного тестирования за все годы его существования в Беларуси, технология их решения, темы, вводящие учащихся в университетский курс математики, исчерпываю- щая литература для абитуриентов, многочисленные ссылки на мои ресурсы и на сайты коллег. В блоге отслеживается все самое важное, что происходит в области тестирования в других странах. Особое внимание уделено геометрии, которая часто вызывает затруднения у школьников. Для этого используется технология Живой Математики — компьютерной программы, позволяющей изучать геометрию (и не только) наиболее продуктивно и с интересом. Я открыт для обмена идеями и опытом с учениками и учителями. 

Мне не хотелось, чтобы назойливая реклама отвлекала от чтения журнала моих посетителей — быстрая установка AdGuard Антибаннер снимает эту проблему.

Битники 21 века

БЛЮЗ ПЕЧАЛЬНЫХ ДОРОГ: АМЕРИКАНСКАЯ МИФОЛОГИЯ «ЗЕМЛИ КОЧЕВНИКОВ» — так трактует фильм Нина Цыркун

Идеи битников и хиппи аукнулись очень кстати и в наше технологическое время.

Вступление в PISA

О международной программе по оценке образовательных достижений учащихся (англ. PISA) см. здесь. Беларусь пока не участвует в этом исследовании, но скоро, говорят, они придут и по нашу душу. Министерству образования придется в какой-то мере переориентировать чрезмерно академический курс математики в средней школе.

Вот пример одного из характерных, но сравнительно простых заданий теста PISA.

Рок-концерт. Для зрителей на концерте рок-музыки было отведено прямоугольное поле размером 100 м на 50 м. Все билеты были проданы, и поле было полностью заполнено стоящими фанатами.
Какое из следующих чисел является наилучшей оценкой общего числа людей, посетивших этот концерт?
А) 2000
В) 5000
С) 20 000
D) 50 000
Е) 100 000.

Конфигурационный подход

Если рассматривать динамическую геометрию как особую область деятельности, стимулирующей рефлексию пользователя, то какие принципы, понятия и методы её характеризуют? Можем ли мы выделить общие черты, присущие различным формам этой деятельности, т.е. программам, в которых мы работаем? Не претендуя здесь на сколько-нибудь удовлетворительные теоретизирования в научном смысле, попробую всё же хотя бы дать набросок своего доморощенного видения «метафизических» проблем динамической геометрии.
Первый, и главный объект, нашего внимания – геометрическая конфигурация.
Под конфигурацией будем понимать геометрическую фигуру или совокупность фигур, которые содержат определённые логические связи между своими частями. Обычно эти связи задаются условием задачи или теоремы. Мы мыслим конфигурацию как потенциально изменяющийся, динамический объект, как некоторое промежуточное состояние фигуры в цепи её непрерывных преобразований.
10.61 КБНеподвижная точка – точка подвижной части конфигурации, которая не меняет своего положения во время движения этой части. На рис. слева в параболу вписан прямоугольный треугольник, вершина прямого угла которого совпадает с началом системы координат. Тогда при двиении вершины А по параболе его гипотенуза проходит через одну и ту же точку Р на оси Оу. На рис. справа стороны треугольника АВС разделены точками P, Q, R в одном и том же отношении. При движении вершины Р центр масс О треугольников АВС и PQR совпадает. Это означает, что Р и О – неподвижные точки данных конфигураций.
Свободная или независимая точка – точка, которая не имеет какую-нибудь зависимость от других точек. На рис. слева это точка А.
Зависимая точка – точка, зависящая от других точек. К примеру, если на 1-м рис. точка А свободная, то В будет зависимой, так как это предписано определением конфигурации. И наоборот, если В взята в качестве свободной, то А будет зависимой. Перемещение свободной точки влечёт за собой перемещение зависимой от неё точки.7.84 КБ
Выявление статуса точки есть принципиальный момент в применениях геометрии. Скажем, конструктору, проектирующему некий механизм, важно знать свойства точек на отдельных деталях. Эта проблема хорошо осознаётся, если взглянуть на рисунок с ЖГ-модели, позаимствованной у американских коллег. Достаточно только подумать о независимой точке конструкции.
Статус точки постоянно актуализируется в геометрических задачах на построение. К примеру, описать трапецию около данной окружности можно по-разному: взять за исходные (свободные) две вершины трапеции или же взять две точки (касания) на окружности или ещё как-то иначе. Соответствующие модели в динамической геометрии (далее – ДГ) будут отличаться с точки зрения их подвижности.4.61 КБ
Инвариант – элемент или величина, которые остаются постоянными при изменении конфигурации. В примере с параболой инвариантом конфигурации является наличие у неё неподвижной точки. Другой пример. В окружности проведены два диаметра и из её свободной точки М опущены два перпендикуляра на диаметра, их основания соединены отрезком АВ. Тогда при движении точки по окружности длина отрезка АВ не изменяется.
Подвижность – свойство конфигурации, которое определяется количеством её свободных точек. Можно говорить о более или менее подвижных конфигурациях.
18.89 КБ Динамизация
- переход от рассмотрения статичной конфигурации к её подвижному варианту в результате изменения статуса с неподвижных в подвижные и свободные. Динамизация - операция конфигурационного мышления, когда мысленно передвигается элементы фигуры с целью исследования её свойств. Эта процедура ориентирует сознание на рассмотрение и анализирование различных возможностей, заложенных в том визуально статическом объекте, который видится на рисунке.
Например, если надо найти треугольник наибольшей площади, вписанный в данный выпуклый многоугольник, то следует (мысленно) подвигать вершину треугольника и проследить за изменениями его площади.
9.83 КБГеометрическая зависимость. Пусть Х - свободная точчка конфигурации W. Поставим в соответствие ей зависимое от неё число у. Это соответствие F{X}=y назовём геометрической зависимостью. Величина у может быть длиной некоторого отрезка или кривой, угла, площади и т.д. Таким образом, F есть отображение определённого подмножества множества W на некоторое множество действительных чисел. Если положение точки Х задать некоторой величиной х, то совокупность точек (х; у) образует на координатной плоскости график геометрической зависимости. В некоторых динамических системах, в частности в ЖГ и МК, заложена чудесная возможность получения такого графика непосредственно, без использования формулы.
ГМТ – геометрическое место точек – траектория движения зависимой точки конфигурации. Одно из основных понятий и, соответственно, методов, свойственных конфигурационному подходу.
5.80 КБ«Чёрный ящик» - тип конфигурации, содержащая определённую идею в своей конструкции, визуально не наблюдаемая и требующая расшифровки для того, чтобы быть понятой. Используется часто в дидактических целях через так называемые задачи по готовых чертежах и в динамических средах. В последнем случае работать с «чёрными ящиками» особенно интересно. Ученику предъявляется некоторая конфигурация и предлагается изучить экспериментально её свойства, сформулировать гипотезы и доказать их. Например, работая с моделью (четырёхугольник с парой взаимно перпендикулярных сторон, см. рис.), можно заметить, что в данной конфигурации длина отрезка, соединяющего середины диагоналей является инвариантом конфигурации при свободном перемещении вершины В. Такого рода заданий в ДГ несть числа. Интереснейшие задания типа "чёрный ящик" содержатся на диске "Математика 5-11. Практикум", выпущенным под руководством В.Н. Дубровского.
Существование и неоднозначность. Наиболее распространены в школьной практике задачи противоположного типа: конфигурация задана определённым условием, а надо найти её свойства. Для этого делается обычно чертёж. И здесь имеют место три возможности: 1) условие задачи задаёт определённую конфигурацию, единственно возможную, и следовательно, статичную, с точки зрения ДГ; 2) условие задаёт неопределённую конфигурацию, не одну, потенциально изменяющуюся, подвижную; 3) конфигурации, заданной условием, вообще не существует. Это означает, что решение задачи должно содержать доказательство существования (или не существования) объекта. И если он существует, то является ли единственным. К сожалению, в различных изданиях можно встретить другое. К примеру, для задачи «Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с периметром 36 и гипотенузой 15» авторское решение сводится к вычислению: r=(a+b-c)/2=(21-15)/2=3. А если школьнику, который усвоил подобное «решение» предложить взять вместо значения периметра 36 число 37 при той же гипотенузе, то заметит ли он, что такого треугольника не существует?
Принцип непрерывности.Пусть дана некоторая линия, по которой движется точка Х, и величина m, от которой зависит положение точки на этой линии. Если А и В – два положения точки Х такие, что m(A)≤x0, a m(B)≥x0, то между А и В существует такое положение точки Х – точка С, что m(C)=x0. Этот принцип, как видно, есть геометрическим аналогом теоремы из анализа о промежуточном значении непрерывной функции. Иллюстрации были здесь, пример 3.
Принцип дополнительности. Этот общенаучный принцип, применённый к нашей теме, означает, что наряду с данной конфигурации полезно рассмотреть ей аналогичную, обобщённую, двойственную, от аффинно эквивалентных конфигураций перейти к топологично эквивалентным. На рисунке показано как этот принцип может привести к идее рассмотрения понятия кривизны линии на занятии школьного факультатива, используя ДГ.
21.01 КБ
Здесь аналогом понятия касательной к кривой является соприкасающаяся с кривой окружность. Если касательная получается сближением на модели двух точек, то соприкасающуюся окружность получим, когда совпадут три точки - вершины вписанного в окружность треугольника.
13.19 КБВ следующем примере (рис. справа) принцип дополнительности ведёт от рассмотрения 1-й модели к рассмотрению 2-й. Аналогия в конфигурациях приводит и к аналогии в их алгебраических описаниях.
Эволюция – трансформация конфигурации, при которой сохраняются некоторые из её свойств. Конечно же, она осуществляется на уровне нашей геометрической рефлексии. Ранее мы имели примеры этому, в прилагаемом файле – ещё один.
Эвристичность – наиважнейший принцип конфигурационного подхода, помогающий отыскивать свойства геометрических объектов. Он реализуется через общенаучные методы и категории: обобщение и специализация, аналогия, индукция, двойственность, дополнительность. В программах ДГ сама технология динамизации объектов естественным образом продуцирует эвристические идеи.
Открытая задача – задача, которая может быть развита в некотором направлении и которая содержит потенции для своего развития.
Диалог задач – серия открытых задач , соединённых общей идей, и которая имеет возможности для саморазвития. Обширный комментарий к рассмотренным понятием, ещё где-то некорректно сформулированным, наверное, содержится в многочисленных записях этого журнала, сделанных ранее.
Динамическая геометрия и педагогика.
Д. Пойа заметил, что преподавание математики имеет много общего с музыкой. Он пишет о математических темах с вариациями, приводя в качестве аналогии примеры из классической музыки. Возможно, если бы увлекался великий мастер эвристики джазовой музыкой, то сослался бы на неё. К примеру, послушаем «Караван» Дюка Элингтона…
Исполнитель начинает с главной темы, добавляет к ней всё новые черты, развёртывает тему, кажется, с исчерпывающей полнотой. Однако не удовлетворяется её реализацией и потихоньку уходит в сторону и вдруг открывает для себя новые возможности, которые не предусматривал сам композитор. Он свободно импровизирует, и от первоначальной темы, вроде бы и ничего не слышно. Но время от времени интерпретатор напоминает всё же о ней, гармонично и виртуозно, лёгкими штрихами, добавляет до почти уже нового произведения малозаметные нотки «Каравана». Он, оказывается, идёт, только на мгновение спрятался в глубокую песчаную долину. А верблюды те напились где-то животворной воды и пошли более стремительно. Музыка набрала новой энергии, стала более разнообразной и раскованной. В конце исполнитель полностью возвращается к первоначальной версии, однако её интерпретация уже другая, обновлённая.
Музыкальные мотивы выразительно слышатся в любой творческой деятельности. Также и в преподавании математики. Преподаватель вместе со своими ученики, школьниками или студентами педагогического университета, могут создавать свои «композиции» на заданные темы. А это пробуждает желание обмениваться ими, расширяет математический кругозор, и, скажем более, принуждает «жить в науке», находится внутри её, а не вне. Здесь видятся большие перспективы для университетских курсов методики преподавания математики – они могут стать более содержательными и интересными. Динамическая геометрия (соответствующие программы) имеет для этого уникальные возможности. Она, если относится к преподаванию математики в духе идей Д. Пойа, раскрывает перед нами свой первородный смысл – подсказывать идеи для решения и развития как отдельных задач, так и обширных математических тем. Это и демонстрируется в данной работе. Американские психологи, изучая феномен GSP (в США она включена как обязательный компонент в школьную программу по математике), установили склонность активных пользователей программы к различного рода обобщениям и вариациям, которые ведут к развитию задачи. Это действительно показывает наш опыт.
Хочется включить нашу тему в более широкий контекст. Так как именно близкие, и вместе с тем отвлечённые и глобальные идеи породили авторскую работу с ЖГ, и более того, стали для неё дополнительным эвристическим двигателем. В диалог с нами вступают их авторы. Вот один из них.
…Великий магистр начинает с одной фуги Баха, импровизирует и удивительно естественно вводит в Игру фрагмент математического трактата Лейбница. Он некоторое время развивает заложенные там идеи, потом незаметно переходит к формуле из астрономии, импровизирует на темы Космоса, обращается к поэме древнекитайского монаха, снова возвращается к Лейбницу, добавляет новые сюжеты, включает заданную тему во всё новые культурные контексты. Причём делается всё удивительно гармонично. Заворожённые зрители с восхищением следят за развёртыванием во времени и пространстве великой Игры «со всеми смыслами и ценностями культуры». Поддержка этой игры, её теоретическое обогащение и усовершенствование и практическая реализация – основное занятие жителей Касталии.
Это вообще не о музыке. Это «Игра в бисер» Германа Гессе. Одно из знаковых произведений для понимания педагогической деятельности, которое следовало бы включить в программы педагогических университетов. Писатель создал философскую метафору как всей культуры, так и её отдельных частей. Тех частей, которые тождественны целому. Стоит только проинтерпретировать это тождество. Мы, учителя, выступаем в роли интерпретаторов математических истин. Но при этом не механически повторяем определённые фрагменты школьных учебников, а добавляем к ним что-то новое, не предусмотренное авторами, и что необходимо в данном месте нашего курса. Мы комбинируем отдельные сюжеты, понятия, задачи, пробуем создать из отдельных тем цельный и стоящий интеллектуальный и, если хотите, общекультурный продукт, который будут потреблять наши ученики. Его математическая ценность видится в логично-дедуктивной последовательности, а общекультурная значимость – в диалогической открытости.
Умберто Эко отыскивает в культурном кладезе человечества произведения, в которых заложена потенциальная возможность для их развития. Например, «некоторые музыкальные произведения дают нам ситуацию, когда каждое отдельное исполнение, интерпретация произведения оказывается только одним из его вариантов; каждое исполнение объясняет произведение, но не исчерпывает его». Такого рода произведения, и не только музыкальные, Эко называет открытыми. Они, в сущности, незавершённые и представляют собой «поле возможностей», которые заложены в них авторами. Их предопределение – быть произведением в движении, которое должно быть завершено согласно замыслу автора.
20.46 КБУ. Эко пишет о художественной культуре, но динамическая геометрия, как и вообще математика, дают нам примеры по-настоящему открытых творений. Урок или их серия, статья или выступление перед коллегами, серия задач, определённый математический раздел могут прочитаны, интерпретированы, исполнены, поняты как открытое поле возможностей, которое ожидает обратной связи и требует продолжения. Геометрическая конфигурация или задача – то же маленькое открытое творение, которое имеет потенцию для развития, определённую выбранной аксиоматикой самой геометрии и нашим воображением и фантазией.
«Караван» остановился? Или скрылся с нашего горизонта? Та или другая серия задач – конечный продукт совместного труда, который может быть осуществлён в конкретном школьном классе или в студенческой аудитории. Гармония математической композиции базируется на диалогизме её составляющих частей – отдельных задач. Задачи, соединённые в определённую цельность, перекликаются своим содержанием, идеями и методами решения. Вместе, во всей своей совокупности, они образуют диалогическое единство, которое должно повлечь и диалог интерпретаторов. Перенесённый в учебную аудиторию, он задаст новый тип педагогических взаимоотношений и должен активизировать образовательный процесс. На горизонте нашей рефлексии возникает новая методика преподавания математики и соответственно программа и стиль обучения студентов – будущих учителей математики.
В заключение ещё раз подчеркнём самое главное. Конфигурационный подход плодотворен как на стадии поиска решения, так и для развития задач. Он способствует прочному усвоению идеи и техники геометрических преобразований, работает на формирование функционального склада мышления в геометрии, стимулирует глобальное математическое видение, открывает новые перспективы и в сочетании с Динамической Геометрией делает нашу науку более интересной, а как составляющая часть сократовского эвристического метода воспитывает диалогическую личность, так необходимую современному обществу.

(no subject)

Д. Пойа заметил, что преподавание математики имеет много общего с музыкой. Он пишет о математических темах с вариациями, приводя в качестве аналогии примеры из классической музыки. Возможно, если бы увлекался великий мастер эвристики джазовой музыкой, то сослался бы на неё. К примеру, послушаем «Караван» Дюка Элингтона…

     Исполнитель начинает с главной темы, добавляет к ней всё новые черты, развёртывает тему, кажется, с исчерпывающей полнотой. Однако не удовлетворяется её реализацией и потихоньку уходит в сторону и вдруг открывает для себя новые возможности, которые не предусматривал сам композитор. Он свободно импровизирует, и от первоначальной темы, вроде бы и ничего не слышно. Но время от времени интерпретатор напоминает всё же о ней, гармонично и виртуозно, лёгкими штрихами, добавляет до почти уже нового произведения малозаметные нотки «Каравана». Он, оказывается, идёт, только на мгновение спрятался в глубокую песчаную долину. А верблюды те напились где-то животворной воды и пошли более стремительно. Музыка набрала новой энергии, стала более разнообразной и раскованной. В конце исполнитель полностью возвращается к первоначальной версии, однако её интерпретация уже другая, обновлённая.

Музыкальные мотивы выразительно слышатся в любой творческой деятельности. Также и в преподавании математики. Преподаватель вместе со своими ученики, школьниками или студентами педагогического университета, могут создавать свои «композиции» на заданные темы. А это пробуждает желание обмениваться ими, расширяет математический кругозор, и, скажем более, принуждает «жить в науке», находится внутри её, а не вне. Здесь видятся большие перспективы для университетских курсов методики преподавания математики – они могут стать более содержательными и интересными. Программа Geometer’s Sketchpad (ЖГ) – один из представителей динамических систем – имеет для этого уникальные возможности. Она, если относится к преподаванию математики в духе идей Д. Пойа, раскрывает перед нами свой первородный смысл – подсказывать идеи для решения и развития как отдельных задач, так и обширных математических тем. Это и демонстрируется в этом блоге. Американские психологи, изучая феномен GSP (в США она включена как обязательный компонент в школьную программу по математике), установили склонность активных пользователей программы к различного рода обобщениям и вариациям, которые ведут к развитию задачи. Это действительно показывает наш опыт.
     Хочется включить нашу тему в более широкий контекст. Так как именно близкие, и вместе с тем отвлечённые и глобальные идеи породили мою работу с GSP, и более того, стали для неё дополнительным эвристическим двигателем. В диалог с нами вступают их авторы. Вот один из них.
     …Великий магистр начинает с одной фуги Баха, импровизирует и удивительно естественно вводит в Игру фрагмент математического трактата Лейбница. Он некоторое время развивает заложенные там идеи, потом незаметно переходит к формуле из астрономии, импровизирует на темы Космоса, обращается к поэме древнекитайского монаха, снова возвращается к Лейбницу, добавляет новые сюжеты, включает заданную тему во всё новые культурные контексты. Причём делается всё удивительно гармонично. Заворожённые зрители с восхищением следят за развёртыванием во времени и пространстве великой Игры «со всеми смыслами и ценностями культуры». Поддержка этой игры, её теоретическое обогащение и усовершенствование и практическая реализация – основное занятие жителей Касталии.
     Это вообще не о музыке. Это «Игра в бисер» Германа Гессе. Одно из знаковых произведений для понимания педагогической деятельности, которое следовало бы включить в программы педагогических университетов. Писатель создал философскую метафору как всей культуры, так и её отдельных частей. Тех частей, которые тождественны целому. Стоит только проинтерпретировать это тождество. Мы, учителя, выступаем в роли интерпретаторов математических истин. Но при этом не механически повторяем определённые фрагменты школьных учебников, а добавляем к ним что-то новое, не предусмотренное авторами, и что необходимо в данном месте нашего курса. Мы комбинируем отдельные сюжеты, понятия, задачи, пробуем создать из отдельных тем цельный и стоящий интеллектуальный и, если хотите, общекультурный продукт, который будут потреблять наши ученики. Его математическая ценность видится в логично-дедуктивной последовательности, а общекультурная значимость – в диалогической открытости.       
     Умберто Эко отыскивает в культурном кладезе человечества произведения, в которых заложена потенциальная возможность для их развития. Например, «некоторые музыкальные произведения дают нам ситуацию, когда каждое отдельное исполнение, интерпретация произведения оказывается только одним из его вариантов; каждое исполнение объясняет произведение, но не исчерпывает его». Такого рода произведения, и не только музыкальные, Эко называет открытыми. Они, в сущности, незавершённые и представляют собой «поле возможностей», которые заложены в них авторами. Их предопределение – быть произведением в движении, которое должно быть завершено согласно замыслу автора.
     У. Эко пишет о художественной культуре, но динамическая геометрия, как и вообще математика, дают нам примеры по-настоящему открытых созданий. Урок или их серия, статья или выступление перед коллегами, серия задач, определённый математический раздел могут прочитаны, интерпретированы, исполнены, поняты как открытое поле возможностей, которое ожидает обратной связи и требует продолжения. Геометрическая конфигурация или задача – то же маленькое открытое творение, которое имеет потенцию для развития, определённую выбранной аксиоматикой самой геометрии и нашим воображением и фантазией.
Я нашел генератор для творчества в образе динамической геометрии.