Добро пожаловать в математику для абитуриента!

Вначале было слово научить, а потом - инструменты для его воплощения. Меня интересуют образовательные технологии и как с их помощью наиболее качественно подготовить школьников к поступлению и обучению в университете. Здесь (на моих "облаках") собрано для этого всё необходимое: темы для занятий с абитуриентами, тесты за все годы существования централизованного тестирования, банк задач для абитуриентов, методы их решения, интерактивные (авторские) пособия в формате программы Живая математика (последняя улучшенная версия GSP-5), исчерпывающая литература, ссылки на избранные ресурсы интернета. Кроме того, здесь рассматриваются интересные задачи, углубляющие курс математики, много динамических моделей, и конечно же, собственная рефлексия на интересующие меня темы. Разумеется, не только абитуриентам будет полезен мой блог, но и учащимся других классов. И для них здесь материалов полно и, конечно же, для коллег - учителей.
Для навигации по по довольно обширным недрам этого дневника (давненько тут!))) пользуйтесь ссылкой Предыдущие 10 (см. ниже), ссылками и моими темами в колонке слева и в каждом посту, а также тегом Мои темы. За этими ссылками кроется много "всякой всячины".
Особое внимание уделено геометрии. Перефразируя слова И. Ф. Шарыгина, можно утверждать: геометрическая конфигурация, воспринятая, как потенциально динамический объект - прекрасный витамин для мозга. Кроме того, абитуриент, знающий геометрию, набирает обычно больше, по сравнению с другими, баллов на ЦТ. Об этом в журнале много материалов.
Я охотно вступлю в контакт с коллегами для обмена идеями и наработками.
Абитуриентам надо ознакомиться с этим текстом.

P.S. Хоть реклама - неизбежный спутник нашей жизни, я не хотел бы, чтобы на моём блоге она отвлекала и раздражала постоянных читателей. Поэтому пройдите по этой ссылке и установите соответствующее приложение - всего один клик (если видите рекламу здесь).

Почему бы такому не быть в тестах?

Коммивояжер должен посетить 9 городов и вернуться на свою базу, где он начал свое путешествие. Найдите длину его самого короткого маршрута.Zad_kom.jpg
Кликните свой ответ...
[50]50? Это не так.

[56]56! Верно.

Zad_kom_verno.jpg


[45]45? Как такое могло получиться?

[54]54? А все ли города объехали?

См. такого рода задачки здесь.

Как работал Мориц Эшер

Профессор математики Manuel Sada из Испании, кроме всего, виртуозно владеет программами динамической геометрии. В апплете (под спойлером) он сделал математически прозрачной работу Эшера "Рептилии". Таких работ у профессора достаточно много - познакомиться с ними можно здесь.
[Демонстрация]

Задача №153, Геометрия-10, Шлыков

SABCD — четырехугольная пирамида. Точка Т — середина ребра SA, точка К лежит на ребре SC так, что СК:CS= 1:4, а точка F лежит на продолжении диагонали BD основания так, что BD:DF = 2:1. Постройте сечение пирамиды плоскостью TKF.
[Построение]

Из тест-экзамена ФПМИ БГУ, 2016 г


[Решение]Решение.
ОДЗ неравенства находим из условия 2х ≥ 7 ⇒ х≥log27. Подкоренное выражение является показательной функцией возрастающей на R и, следовательно, на ОДЗ. Квадратный корень есть также возрастающей функцией, поэтому левая часть неравенства является возрастающей функцией f(x) на [log27; +∞). Правая часть неравенства есть убывающая показательная функция h(x) этом же промежутке. Следовательно, уравнение f(x)=g(x) имеет единственной корень, который легко усмотреть: х=3. Тогда f(x)>g(x) при х>3.
Ответ: 4.

К теме "Показательная функция". Эксперимент

[Показать]
За экспериментом идет гипотеза: функция у = 0,5х убывающая на R. В результате других экспериментов (не обязательно графических) возникает более общая гипотеза: функция
у = ах убывает при 0 < a < 1 и возрастает при a > 1.
За гипотезой идет доказательство... .

Для чего понадобились логарифмы?

Математик сказал бы: для того, чтобы решать уравнение типа ах=b. Но вот французский ученый Лаплас изрёк, что изобретение логарифмов, "сократив труд астронома, удвоило его жизнь". Они ускорили вычислительную работу, когда появилась логарифмическая линейка.
Её действие основано на свойствах, которые мы изучаем в школе. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. На логарифмической шкале число, помеченное, к примеру, цифрой 5, на самом деле показывает, что расстояние от соответствующей точки до начала отсчета равно lg5.
[Посмотреть модель]
Как видно из этой модели, умножение чисел на такого рода шкалах сводится к сложению отрезков. Более подробно можно увидеть настоящую логарифмическую линейку здесь и даже посчитать на ней. До изобретения калькуляторов в школах изучали и пользовались именно такими линейками. Сейчас это музейная редкость.

Бертран Рассел предупреждает

Мысль революционна и разрушительна; мысль беспощадна к привилегиям, установленным институтам и удобным привычкам; мысль анархична и непокорна, безразлична к авторитетам и испытанной вековой мудрости.

Но для того чтобы мысль стала инструментом каждого, а не привилегией меньшинства, нам придётся покончить со страхом. Именно страх сдерживает людей: страх того, что их драгоценные убеждения окажутся ложными; что руководящие их жизнью институты окажутся губительными; что они сами окажутся менее достойными уважения, чем они привыкли считать. Что если рабочий начнёт свободно размышлять о собственности? Что тогда будет с нами, богачами? Что если молодые мужчины и женщины начнут свободно размышлять о сексе? Что тогда будет с моралью? Что если солдаты начнут свободно размышлять о войне? Что тогда будет с военной дисциплиной? Пусть лучше люди остаются глупыми, ленивыми и жестокими. Так враги мысли думают в глубине души, и так они действуют через свои церкви, школы и университеты.

Бертран Рассел — выдающийся философ-рационалист, признанный самым влиятельным логиком минувшего века, мастер английской прозы и борец за свободу слова и мысли. Он известен своей критикой западной цивилизации.
Цитировано отсюда.

Задача по мотивам логических изысканий Бертрана Рассела.
Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера этой деревни: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, то он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только в том случае, когда он не бреет себя. Что, разумеется, невозможно.
Какой вывод отсюда следует?

РТ3-2011, В12

Количество целых решений неравенства 6-х·log2(14-x)<145 равно... .

[Решение]Решение.
Умножим обе части неравенства на положительное выражение 6х, получим неравенство log2(14-x)<145·6х. В левой части функция f(x) убывающая, так как выражение 14-х убывает с увеличением х,тогда и логарифм с основанием, большим 1, также убывает. Правая часть неравенства - возрастающая показательная функция g(x). Следовательно, уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень x0. Заметим, что f(-2)=4, а g(-2)=145:36 чуточку больше за 4, т.е число -2 удовлетворяет неравенству. f(x)<g(x) на промежутке (x0; 14) (см. графики). Количество целых решений: 17.
Ответ: 17.